Fondamenti della meccanica atomica
all'altra; con questa convenzione si potrà dire che: ad ogni autovalore corrisponde una autofunzione, e che queste sono tutte ortogonali tra loro.
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(1) O meglio, la durata di un gruppo d'onde coerenti: se l'illuminazione durasse più a lungo, ma avvenissero ogni tanto dei bruschi cambiamenti di
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meccanica quantistica). E tale probabilità, in ogni intervallo infinitesimo dt, si accresce di , dove
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Conviene ora distinguere due casi secondo che l'energia E della particella è inferiore o no al dislivello di potenziale (supporremo in ogni caso che
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La meccanica ondulatoria invece fornisce un risultato diverso: la particella incidente ha in ogni caso una certa probabilità di oltrepassare la
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e si può dimostrare che ha soluzioni finite, continue e ad un sol valore per ogni direzione, solo se,
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e poichè la deve essere periodica a periodo nella (altrimenti la u non risulterebbe ad un sol valore per ogni punto dello spazio), dovrà essere
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Riassumendo, ad ogni autovalore della (223') corrispondono autofunzioni (con ), date dalle (226), (229'), (243), cioè da
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Poichè ogni stato è individuato da tre numeri quantici, a ciascuno degli indici n, musati or ora si dovrà sostituire una terna di indici: le
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Queste denominazioni non devono far pensare che l'ipotesi si riferisca soltanto alla luce propriamente detta: essa abbraccia ogni tipo di radiazione
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/c, la quale si manifesta, quando viene assorbita dalla materia, col fenomeno della pressione della luce: è naturale quindi che ogni teoria della luce
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valori dell'energia corrispondenti alle orbite dello stesso quanto totale n: allora ogni livello energetico si scinderà in un gruppo di livelli
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Ogni livello energetico quindi si sdoppia, per effetto dell'esistenza dello spin, in due livelli vicini: la differenza di essi è dell'ordine di
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(1) In tutto questo capitolo si tratterà solo di vettori uscenti dall'origine: perciò ad ogni punto corrisponde un vettore, e viceversa.
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Possiamo dunque dire che: assegnare un vettore nello spazio a N dimensioni, significa far corrispondere ad ogni intero r (da 1 ad N) un numero (reale
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, viceversa, ogni punto di questo spazio rappresenta una funzione f(x); ma spesso è più utile la interpretazione vettoriale.
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versori (e quindi, dipendente dall'equazione differenziale di cui le sono le autofunzioni). Ogni funzione f(x) a quadrato sommabile resta individuata
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formule relative al caso di p = 1, avvertendo che per passare al caso generale basta sostituire ogni indice con un gruppo di p indici, e ogni
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a) Ogni numero k si può riguardare come un operatore, perchè premesso ad una f(x, y, ...) la muta nel prodotto kf(x, y, ...). Ciò vale, naturalmente
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d) Il simbolo (con costante) è un operatore che muta ogni funzione integrabile f nella funzione
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c) Il simbolo è un operatore che muta ogni funzione derivabile f(x) nella sua derivata. Similmente (per le funzioni di più variabili) sono operatori
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Definiremo allora come F() l'o. l. ottenuto sostituendo materialmente, nella serie precedente, il simbolo col simbolo (con che ogni termine della
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Difatti, detti al solito i versori degli assi (autofunzioni di un'equazione differenziale) ogni vettore f si può scrivere nella forma
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Ad ogni o. l. corrisponde così una matrice, che lo individua perfettamente, e che si indica generalmente con lo stesso simbolo dell'operatore: spesso
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lineari (22), i cui coefficienti sono le . Basta quindi la conoscenza di questi coefficienti per permettere di ricavare da ogni f il corrispondente
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La moltiplicazione di una matrice per una costante k si esegue moltiplicando ogni elemento della matrice per k: anche questo risulta immediatamente
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y (mediante la (32')). E la (37) esprime che la matrice è ottenuta dalla cambiandone le righe in colonne (cioè sostituendo ogni elemento col suo
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(1) "Distinte" vuol dire che supponiamo che ogni particella abbia una propria individualità, che cioè si possa distinguere dalle altre: se si
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Se si suppone la luce di una lunghezza d'onda media λ=5500 Å, e si calcola, con la formula E =hv, l'energia corrispondente ad ogni quanto, si trova
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possibilità di scindere la nel prodotto di N fattori, ciascuno corrispondente a una particella, e di spezzare ogni autovalore nella somma di N termini
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Ammettiamo perciò il seguente postulato: ad ogni osservabile G si può far corrispondere un operatore lineare hermitiano che ha le seguenti proprietà
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sostituendovi ogni con .
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siano degeneri: allora ogni asse principale di è anche un asse principale di , cui potremo attribuire lo stesso indice, e perciò, dopo eseguita
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corrispondente all'autovalore (1) Per includere anche i casi di degenerazione, bisogna ad ogni autovalore multiplo di ordine p far corrispondere nella (113) p
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(1) Per includere anche i casi di degenerazione, bisogna ad ogni autovalore multiplo di ordine p far corrispondere nella (113) p termini separati.
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: ma affinchè abbia un sol valore in ogni punto dello spazio, essa deve essere periodica in a periodo : quindi dovrà aversi con m intero, ossia
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assi nello spazio hilbertiano), ogni vettore di tale spazio può essere rappresentato dalle sue componenti fn rispetto ai detti assi, e similmente ogni
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Fissato lo «schema», ad ogni osservabile A corrisponde una matrice hermitiana
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Analoga osservazione si può fare per gli elementi . Adunque nelle matrici e vi sono in ogni linea e in ogni colonna al più due elementi diversi da
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Supporremo però in ogni caso che non contenga esplicitamente t, il che si esprime dicendo che la perturbazione è «indipendente dal tempo»: il caso
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(1) Si dovrebbe scrivere , e, più oltre, , perchè per ogni valore di n vi è una , una ed un sistema di coefficienti : per semplicità di scrittura
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, purchè ad ogni livello di molteplicità n si facciano corrispondere n valori dell'indice , come se si trattasse di livelli distinti.
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ossia, trascurando il secondo termine (che si è preso nullo ed è, in ogni caso, del terzo ordine) e utilizzando la (206):
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poichè in tal caso l'equazione si identifica con la (300), che per ipotesi è soddisfatta da : si tratta dunque di dimostrare che per ogni
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La (326) resterà dunque dimostrata se faremo vedere che la S relativa a ogni trasformazione di Lorentz gode la proprietà:
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Se per ogni eventuale autovalore multiplo il sistema fondamentale di autofunzioni viene scelto nel modo descritto, si ottiene un sistema completo di
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antisimmetrica rispetto a ogni trasposizione, e quindi (poichè, come si è visto poco anzi, una funzione non può essere simmetrica per alcune trasposizioni
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Ogni atomo ha evidentemente una serie di energie di eccitazione la prima delle quali è quella chiamata «di risonanza»; esse si addensano verso un
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Noteremo infine che ad ogni potenziale di eccitazione o di ionizzazione corrisponde (secondo la relazione di Einstein tra energia e frequenza) una
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curva si presentano diverse serie di massimi, ogni serie corrispondendo a un livello di eccitazione.
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Accademia della crusca
